• Белкина Т.А. (к.ф.-м.н., доцент, заведующая лабораторией теории риска ЦЭМИ РАН), Курочкин С.В. (к.ф.-м.н., доцент Факультета экономических наук НИУ ВШЭ), Тархова А.Е. (риск-менеджер ПАО «Сбербанк») 
  
  Об асимптотиках оптимальных инвестиционных стратегий в модели, включающей рисковое страхование и пожизненные аннуитеты

Аннотация. Исследуется проблема оптимального инвестирования резерва в коллективной модели страхового портфеля, объединяющего   договора двух видов – по рисковому страхованию и по пожизненным аннуитетам. Инвестирование может производиться в два вида активов – рисковый, моделируемый геометрическим броуновским движением, и безрисковый (банковский счет). Целью задачи оптимизации является минимизация вероятности разорения объединенного портфеля на бесконечном интервале времени. В отсутствие инвестиций такой портфель описывается стохастическим процессом, включающим двусторонние скачки и непрерывный снос. Положительные скачки интерпретируются как приращения резерва, возникающие в моменты окончания жизни страхователей в связи с высвобождением неизрасходованных средств по пожизненным аннуитетам; отрицательные соответствуют размерам страховых требований по рисковому страхованию. Детерминированный снос определяется разностью между премиями по рисковому страхованию и выплатами по аннуитетам в единицу времени (в зависимости от соотношения между ними эта разность может иметь любой знак или быть нулевой). Решение оптимизационной проблемы, в том числе получение вида оптимальной стратегии, связано с классическим решением соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, если оно существует. В изучаемом случае указанное уравнение включает интегральные операторы двух видов, причем, рассматриваемые в совокупности, они не могут быть сведены к оператору вольтеррового типа даже в его обобщенном определении как сингулярного оператора Вольтерры.  Этот факт существенно усложняет исследование проблемы, в том числе асимптотический анализ решений уравнения, а, тем самым, и оптимальных стратегий. Тем не менее, для случая малых скачков процесса (при их экспоненциальных распределениях) нами получены асимптотические представления решений как для малых, так и для больших значений резерва.